КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские

24.09.2015

Кінетична енергія обертання

Продовжимо вивчення динаміки обертання. При обговоренні аналогії між лінійним та кутовим рухом в гол. 18 ми використали теорему про роботу, але нічого не говорили про кінетичної енергії. Яка буде кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо деякої осі з кутовою швидкістю ω? Використовуючи нашу аналогію, можна відразу вгадати правильну відповідь. Момент інерції відповідає масі, кутова швидкість відповідає звичайній швидкості, так що кінетична енергія повинна бути дорівнює 1/2Iω 2. Так воно і є насправді, і зараз ми покажемо це. Припустимо, що тіло обертається навколо деякої осі, так що кожна точка рухається зі швидкістю ωrі. де rі відстань від даної точки до осі. Якщо маса цієї точки дорівнює mі. то повна кінетична енергія тіла дорівнює просто сумі кінетичних енергій всіх частинок

КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские

В кінці гол. 18 ми відзначали, що існують дуже цікаві явища, пов’язані з обертанням не абсолютно твердого тіла, здатного змінювати свій момент інерції. Саме, у прикладі з обертовим столом у нас був момент інерції I1 і кутова швидкість ω1 при витягнутих руках. Зігнувши руки, ми змінили момент інерції до I2. а кутову швидкість до ω2. Так як у нас немає жодних моментів сил відносно осі обертання столу, момент кількості руху повинен залишитися постійною. Це означає, що I1 ω1 = I2 ω2. А що можна сказати про енергії? Це дуже цікаве питання. Зігнувши руки, ми починаємо обертатися швидше, але момент інерції при цьому зменшується і може здатися, що кінетична енергія повинна залишитися тією самою. Це, однак, невірно, тому що насправді зберігається Iω, а не Iω 2. Порівняємо тепер кінетичні енергії на початку і в кінці. На початку кінетична енергія дорівнює 1/2I1 ω 2 1 =1/2Lω1. де L=I1 ω1 =I2 ω2 момент кількості руху. Точно таким же чином кінетична енергія в кінці дорівнює Т=1/2Lω2. а оскільки ω2 > ω1 то кінетична енергія в кінці виявляється більшою, ніж на початку. Отже, спочатку, коли руки були витягнуті, ми оберталися з якоюсь кінетичної енергією, потім, зігнувши руки, ми стали обертатися швидше і наша кінетична енергія зросла. А як бути з законом збереження енергії? Адже має ж хтось провести роботу, щоб збільшити енергію? Це зробили ми самі! Але коли, в який момент? Коли ми тримаємо гантелі горизонтально, то ніякої роботи не виробляємо. Випрямляючи руки в сторони і згинаючи їх, ми теж не можемо зробити ніякої роботи. Це, однак, вірно тільки, поки немає ніякого обертання! При обертанні ж на гантелі діє відцентрова сила. Вони прагнуть вирватися з рук, так що, згинаючи під час обертання руки, ми долаємо протидія відцентрової сили. Робота, яка на це витрачається, і складає різницю у кінетичних енергіях обертання. Ось звідки береться цей добавок.

Існує ще одне дуже цікаве явище, яке ми розглянемо тільки описово, щоб просто мати про нього уявлення. Хоча вивчення цього явища вимагає дещо більшого досвіду, але згадати про нього варто, бо воно дуже цікаво і дає багато цікавих ефектів.

Візьмемо знову експеримент з обертовим столиком. Розглянемо окремо тіло і руки, з точки зору людини, що обертається на столику. Зігнувши руки з гантелями, ми стали обертатися швидше, але зауважте, що тіло при цьому не змінило свого моменту інерції; тим не менш воно стало обертатися швидше, ніж раніше. Якщо б ми провели навколо тіла, окружність і розглянули тільки предмети всередині цієї окружності, то їх момент кількості руху змінився б; вони закрутилися швидше. Отже, коли ми згинаємо руки, на тіло повинна діяти момент сили. Однак відцентрова сила не може дати ніякого моменту, так як вона спрямована по радіусу. Це говорить про те, що серед сил, що виникають під обертається системі, відцентрова сила не самотня: є ще й інша сила. Ця інша сила носить назву коріолісової сили, або сили Коріоліса. Вона має дуже дивним властивістю: виявляється, що якщо ми в обертовій системі рухаємо якийсь предмет, то вона штовхає його вбік. Як і відцентрова сила, ця уявна сила. Але якщо ми живемо в обертовій системі і хочемо щось рухати по радіусу, то для цього ми повинні тягнути його трохи вбік. Саме ця «бічна» сила створює момент, який розкручує наше тіло.

Перейдемо тепер до формул і покажемо, як кориолисова сила працює на практиці. Нехай Мік сидить на каруселі, яка здається йому нерухомою. З точки зору Джо, який стоїть на землі і знає істинні закони механіки, карусель крутиться. Припустимо, що ми провели радіальну пряму на каруселі і нехай Мік рухає прямо по цій лінії якусь масу. Я хочу показати, що для того, щоб все було так, як ми описали, необхідна бічна сила. Це можна побачити, звернувши увагу на момент кількості руху обертової маси. Вона крутиться весь час з однією і тією ж кутовою швидкістю, тому її момент кількості руху дорівнює

L = mvтанг r = mωr*r = mωr 2

Якщо маса розташована близько до центру, то він порівняно малий, але якщо ми пересуваємо її в нове положення і якщо ми збільшуємо р, то маса т набуває більший момент кількості руху, тобто під час руху по радіусу на неї повинен діяти деякий момент сили. (Щоб на каруселі рухатися по радіусу, потрібно нахилитися і штовхатися вбік. Спробуйте як-небудь самі зробити це.) Оскільки момент сили дорівнює швидкості зміни L під час руху маси m по радіусу, то

КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские

де через FK позначена сила Коріоліса. Насправді ми хотіли дізнатися, яку бічну силу повинен докладати Мік, щоб рухати масу m зі швидкістю vr =dr/dt. Як бачите, вона дорівнює FK = τ/r =2mωvr .

КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские
Тепер, маючи формулу для коріолісової сили, давайте розглянемо кілька більш докладно всю картину в цілому. Як можна зрозуміти причину виникнення цієї сили з елементарних міркувань? Зауважте, що кориолисова сила не залежить від відстані до осі і тому діє навіть на осі! Виявляється, що легше всього зрозуміти саме силу, діючу на осі обертання. Для цього потрібно просто подивитися на все, що відбувається з інерціальної системи Джо, який стоїть на землі. На фіг. 19.4 показані три послідовні положення маси т, яка при t=0 проходить через вісь. Із-за обертання каруселі маса, як ми бачимо, рухається не по прямій лінії, а по деякому кривому шляху, що стосується діаметру в точці r=0. Але для того щоб вона рухалася по кривому шляху, повинна діяти прискорювальна сила. Це і є кориолисова сила.

Проте з коріолісової силою ми зустрічаємося не тільки в подібних ситуаціях. Можна показати, що якщо предмет рухається з постійною швидкістю по краю диска, то на нього теж діє кориолисова сила. Чому? Мік бачить предмет, що рухається зі швидкістю vм. а Джо бачить його рухається по колу зі швидкістю vд =vм +ωr. оскільки предмет того ж переноситься каруселлю. Як ми вже знаємо, що діє в цьому випадку сила буде, по суті, повністю відцентровою силою швидкості vд. рівною mv 2 д /r. Але, з точки зору Міка, вона повинна складатися з трьох частин. Все це можна записати в наступному вигляді:

КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские

Отже, Fr — це сила, яку вимірює Мік. Спробуємо зрозуміти, звідки що береться. Може Мік визнати перший член? «Звичайно,- сказав би він,- навіть якщо б я не обертався, то така відцентрова сила повинна виникнути, якщо побігти по колу зі швидкістю іи». Отже, це просто відцентрова сила, появи якої Мік чекає і яка не має нічого спільного з обертанням каруселі. До того ж Мік думає, що повинна бути ще одна відцентрова сила, що діє навіть на нерухомі предмети на його каруселі. Це дає третій член. Однак у доповнення до них існує ще один член — другий, який знову дорівнює 2mωvМ. Раніше, при радіальної швидкості, кориолисова сила FK тангенциальна. Тепер же, при тангенціальної швидкості, вона радіально. Справді, одне вираз відрізняється від іншого лише знаком. Сила завжди має один і той же напрямок по відношенню до швидкості незалежно від того, куди спрямована швидкість. Вона діє під прямим кутом до швидкості і дорівнює за величиною 2mωv.

Короткий опис статті: кінетична енергія КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские лекції з фізики КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские лекції з фізики

Джерело: КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТАННЯ. Центр мас; момент інерції. Фейнмановские лекції з фізики

Також ви можете прочитати