Кінетична енергія обертання

14.09.2015

Курс лекцій з фізики Приклади рішення задач

Кінетична енергія обертання

Розглянемо абсолютно тверде тіло (див. § 1), що обертається близько нерухомої осі z, що проходить через нього (рис. 24). Подумки розіб’ємо це тіло на маленькі обсяги з елементарними масами т1, т2. тп. знаходяться на відстані r1, r2. rn від осі.

При обертанні твердого тіла відносно нерухомої осі окремі його елементарні обсяги масами mi опишуть кола різних радіусів ri, і мають різні лінійні швидкості vi. Але так як ми розглядаємо абсолютно тверде тіло, то кутова швидкість обертання цих обсягів однакова:

Кінетична енергія обертання
(17.1)

Кінетичну енергію обертового тіла знайдемо як суму кінетичних енергій його елементарних об’ємів: Потенційні і непотенциальные сили. Лекції з фізики

Кінетична енергія обертання

або

Кінетична енергія обертання

Використовуючи вираз (17.1), отримуємо

Кінетична енергія обертання

де Jz — момент інерції тіла відносно осі z. Таким чином, кінетична енергія обертового тіла

Кінетична енергія обертання
(17.2)

З порівняння формул (17.2) з виразом (12.1) для кінетичної енергії тіла, що рухається поступально (T=mv2/2), випливає, що момент інерції — міра інертності тіла при обертальному русі. Формула (17.2) справедлива для тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

У випадку плоского руху тіла, наприклад циліндра, скочується з похилої площини без ковзання, енергія руху складається з енергії поступального руху і енергії обертання:

Кінетична енергія обертання

де m — маса котиться тіла; vc — швидкість центру мас тіла; Jc — момент інерції тіла відносно осі, що проходить через його центр мас; w — кутова швидкість тіла.

Кінетична енергія обертання

Момент сили. Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла

Моментом сили F відносно нерухомої точки О називається фізична величина, що визначається векторним добутком радіуса-вектора r, проведеного з точки О в точку А прикладання сили, на сили F (рис. 25):

Кінетична енергія обертання

Тут М — псевдовектор, його напрямок збігається з напрямком поступального руху правого гвинта при його обертанні від r до F. Модуль моменту сили

Кінетична енергія обертання
(18.1)

де a — кут між r і F; r sin a = l — найкоротша відстань між лінією дії сили і точкою О — плече сили.

Моментом сили відносно нерухомої осі z називається скалярна величина Mz. рівна проекції на цю вісь вектора моменту сили М, визначеного відносно довільної точки О даній осі z (рис. 26). Значення моменту Мz не залежить від вибору положення точки на осі z.

Якщо вісь z збігається з напрямком вектора М, то момент сили представляється у вигляді вектора, що збігається з віссю:

Кінетична енергія обертання

Знайдемо вираз для роботи при обертанні тіла (рис. 27). Нехай сила F прикладена в точці В, що знаходиться від осі z на відстані r, a — кут між напрямком сили і радіусом-вектором r. Так як абсолютно тверде тіло, то робота цієї сили дорівнює роботі, витраченої на поворот всього тіла. При повороті тіла на нескінченно малий кут d j крапка додатка проходить шлях ds=rd j і робота дорівнює добутку проекції сили на напрямок зміщення на величину зміщення:

Кінетична енергія обертання
(18.2)

Кінетична енергія обертання

Враховуючи (18.1), можемо записати

Кінетична енергія обертання

де Frsin a = Fl =Mz — момент сили відносно осі z. Таким чином, робота при обертанні тіла дорівнює добутку моменту діючої сили на кут повороту.

Робота при обертанні тіла йде на збільшення його кінетичної енергії: dA=dT, але Кінетична енергія обертання
тому Mzd j = Jz w d w. абоКінетична енергія обертання

Враховуючи, щоКінетична енергія обертання
отримуємо

Кінетична енергія обертання
(18.3)

Рівняння (18.3) являє собою рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі.

Можна показати, що якщо вісь z співпадає з головною віссю інерції (див. § 20), що проходить через центр мас, то має місце векторне рівність

Кінетична енергія обертання
(18.4)

де J — головний момент інерції тіла (момент інерції відносно головної осі).

Короткий опис статті: кінетична енергія

Джерело: Кінетична енергія обертання

Також ви можете прочитати