РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ . Наука

06.07.2015

РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ

Застосування законів збереження енергії та імпульсу часто дозволяє отримувати рішення найбільш простим і витонченим чином, позбавляючи від громіздких і важких розрахунків. І абсолютно необхідним виявляється їх застосування, коли закони взаємодії тіл невідомі або опис поведінки механічної системи за допомогою рівнянь руху призводить до настільки складним співвідношенням, що отримати остаточне рішення практично неможливо. Разом з тим закони збереження ніколи не дають і не можуть дати однозначної відповіді на питання про те, що відбувається. Але якщо, виходячи з якихось інших міркувань, можна вказати, що саме має статися. закони збереження дають відповідь на питання, як це станеться.

Програма вступних іспитів у внз передбачає знання абітурієнтами законів збереження імпульсу й механічної енергії. Ці окремі випадки законів зміни імпульсу та механічної енергії можуть бути доведені за допомогою законів Ньютона. Не повторюючи висновку, наявного в шкільних підручниках, нагадаємо лише їх формулювання.

Закон зміни імпульсу. приріст імпульсу механічної системи щодо інерціального спостерігача за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на тіла системи, за той же проміжок часу. Отже, якщо імпульс зовнішніх сил, що діють на тіла системи, за розглянутий проміжок часу дорівнює нулю, то імпульс системи в кінцевий момент зазначеного проміжку часу дорівнює імпульсу системи в початковий момент. Таке формулювання є і достатньою і необхідною. Однак у такому вигляді закон збереження імпульсу звичайно не формулюють, так як перевірити виконання зазначеного умови при невідомому характері сил взаємодії тіл з зовнішніми тілами неможливо, а при відомому завдання простіше розв’язати, не використовуючи закон збереження. Разом з тим очевидно, що якщо сума зовнішніх сил, що діють на тіла системи, у будь-який момент часу дорівнює нулю (таку систему називають замкнутою), то імпульс системи буде залишатися постійним щодо будь-якого інерціального спостерігача протягом цього проміжку. Враховуючи векторний характер фігурують в законі величин, можна стверджувати, що при рівності нулю суми проекцій зовнішніх сил на деякий напрям протягом певного часу проекція імпульсу системи на цей напрямок буде залишатися незмінною при будь-яких процесах в цій системі в зазначений проміжок часу. Більш того, якщо потрібно визначити зміна характеру руху частин системи (а не системи в цілому!) і відомо, що сили взаємодії цих частин у багато разів перевищують зовнішні сили, діючі на них, можна знехтувати дією зовнішніх сил, тобто вважати систему замкнутою. Зазвичай така ситуація має місце при вибухи, постріли та інших подібних процесах. Однак при цьому необхідно переконатися, що зовнішні сили весь час залишаються достатньо малими.

Закон зміни механічної енергії. приріст механічної енергії системи тіл відносно інерціального спостерігача дорівнює сумі роботи зовнішніх сил над тілами системи і роботи внутрішніх неконсервативних сил за розглянутий проміжок часу. Отже, якщо система ізольована (ні на одну точку не діють зовнішні сили), а внутрішні сили консервативні. її механічна енергія щодо інерціального спостерігача не залежить від часу. Наведена формулювання закону збереження механічної енергії достатня, але не необхідна. Так, якщо в ізольованій системі поряд з консервативними діють сили сухого тертя спокою, сумарна робота сил тертя в силу третього закону Ньютона дорівнює нулю, то механічна енергія такої системи залишається незмінною. Ще раз звернемо увагу, що у наведеній формулюванні закону збереження механічної енергії міститься вимога ізольованості, а не тільки замкнутості розглянутої системи тел.

Завдання 1 (2000 р.). На тонкостінний обід загальмованого велосипедного колеса, вісь якого розташована горизонтально і закріплена, намотана тонка нерозтяжна нитка. Один кінець нитки прикріплений до обода, а на іншому кінці висить вантаж масою m. Радіус колеса дорівнює R, маса обода дорівнює М. Нехтуючи тертям, масою спиць, втулки і нитки, знайти величину прискорення A точок обода колеса через проміжок часу t після відпускання колеса, якщо протягом цього проміжку вантаж рухався поступально.

Ця і наступна завдання важкі тим, що в програмі вступних іспитів немає згадки про рівняння динаміки обертального руху протяжних тел. Однак ці і подібні їм завдання легко вирішуються за допомогою закону збереження механічної енергії.

Рішення. Будемо вважати лабораторну систему відліку, в якій вісь обода нерухома, інерціальною. За умовою обід недеформируемый, а нитка нерастяжима. Тому можна стверджувати, що в той момент часу t, коли швидкість вантажу стає рівною v(t), точно таку ж за величиною лінійну швидкість повинна мати і будь-яка точка тонкого обода. Як відомо, кінетична енергія матеріальної точки масою m, що рухається щодо інерціального спостерігача зі швидкістю v, дорівнює mv 2 /2, а кінетична енергія системи точок дорівнює сумі їх кінетичних енергій. Тому, нехтуючи у відповідності з умовою задачі масою нитки, спиць і втулки, можна вважати, що в зазначений момент часу кінетична енергія системи «колесо — нитка — вантаж — Земля» повинна стати рівною (M+m)v 2 /2. При цьому ми вважаємо, що кінетична енергія Землі при опусканні вантажу залишається незмінною. Останнє твердження може здатися неправильним. Дійсно, якщо знехтувати впливом на аналізовані тіла інших тіл, зазначену систему слід вважати ізольованою. Отже, оскільки імпульс обертається навколо нерухомої осі однорідного твердого обода дорівнює нулю, імпульс нитки теж дорівнює нулю (за умовою завдання нитка невагома), то на підставі закону збереження імпульсу потрібно вважати, що збільшення імпульсів вантажу і Землі по відношенню до інерціальній системі відліку повинні бути однаковими за величиною. Однак враховуючи, що маса Землі у багато разів більше маси вантажу, зміною швидкості Землі відносно інерціальної системи відліку, обумовленим рухом вантажу, і її кінетичної енергією слід нехтувати. Тобто дійсно лабораторну систему можна вважати інерціальною, а згідно з умовою — і консервативною. Тому на підставі закону збереження механічної енергії можна стверджувати, що придбана системою до моменту часу t кінетична енергія дорівнює убутку її потенційної енергії, обумовленої опусканням вантажу на висоту h. Очевидно, можливі переміщення вантажу малі в порівнянні з радіусом Землі, а тому що діє на вантаж силу тяжіння mg необхідно вважати постійною. Тоді зі сказаного випливає, що в будь-допустимий по умові задачі момент часу t повинно мати місце співвідношення

(М + m) υ 2 (t) / 2 = m g h (t).

Оскільки на вантаж з боку Землі діє не залежить від положення вантажу сила тяжіння і відповідно до сказаного вище величина тангенціальної складової прискорення точок обода aτ і величина прискорення вантажу а повинні бути рівні, можна вважати, що в будь-який момент часу t прискорення вантажу залишається незмінним. Тому можна стверджувати, що

υ (t) = at і h (t) = at 2 / 2.

Підставивши ці співвідношення в попереднє рівняння, отримаємо

РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ . Наука

Враховуючи, нарешті, що нормальна складова прискорення точки, що рухається по колу радіусом R зі швидкістю v, дорівнює an = υ 2 / R і спрямована перпендикулярно тангенціальної складової її прискорення, визначимо шукане прискорення точок обода колеса в заданий момент часу t = τ:

РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ . Наука

Завдання 2 (2000 р.). Однорідне тонкостінний кільце масою m котиться без проковзування по закріпленому жолобу так, що його площина весь час залишається в площині вертикального перерізу жолоба, має форму дуги кола радіусом R. Радіус кільця r багато менше R. Знайти силу, з якою кільце буде діяти в нижній точці на жолоб, якщо на висоті h = R/2 від цієї точки кільце мало швидкість v.

Рішення. При вирішенні задачі будемо, як звичайно, нехтувати впливом повітря на рух кільця. Оскільки кільце котиться без проковзування, то величина швидкості v центру кільця і кутова швидкість його обертання відносно горизонтальної осі, що проходить через центр кільця перпендикулярно його площині, повинні задовольняти співвідношенням v=wr. Звідси з урахуванням того, що тонке кільце, слід, що швидкість будь-i-тої точки кільця vі =v+vівр. де vівр — швидкість цієї точки відносно центра кільця. Тому кінетична енергія котиться без проковзування кільця повинна бути дорівнює:

РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ . Наука

так як маси діаметрально протилежних точок кільця mі в силу його однорідності рівні, а їх швидкості, обумовлені обертанням колеса навколо своєї осі, рівні за величиною, але протипожеж помилкові за напрямом.

Оскільки кільце котиться без проковзування, що діє на нього з боку жолоби сила сухого тертя є силою тертя спокою, і її робота над кільцем і жолобом дорівнює нулю. Тому, якщо, звичайно, вважати систему «кільце — жолоб — Земля» ізольованою і знехтувати силами тертя кочення, можна стверджувати, що для неї повинен виконуватися закон збереження механічної енергії. Враховуючи, що маса Землі у багато разів більше маси кільця, зміна її швидкості при русі кільця пренебрежимо мало, тому лабораторна система инерциальна (див. рішення попередньої задачі). Тоді, з урахуванням сказаного раніше, можна стверджувати, що приріст кінетичної енергії розглянутої системи тіл дорівнює убутку її потенційної енергії. Якщо швидкість кільця в нижній точці траєкторії позначити vн. прирощення його кінетичної енергії при скачуванні до нижньої точки жолоби

∆ W = mυ н 2 — mυ 2 .

При цьому зменшення потенційної енергії системи, вважаючи прискорення вільного падіння g постійним і враховуючи, що за умовою задачі h = R/2 >> r, буде ∆ Wп = (h — r) mg

mgR/2. Зі сказаного випливає, що в нижній точці траєкторії швидкість кільця повинна стати

РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ . Наука

Оскільки в цій точці прискорення кільця спрямовано вертикально вгору і одно vн 2 /R, тангенціальна складова діє на кільце сили реакції жолоби (сила сухого тертя спокою) дорівнює нулю, а нормальна складова N зазначеної сили, згідно другого закону Ньютона, повинна бути дорівнює (g+vн 2 /R) m. Отже, згідно з третім законом Ньютона, шукана сила, з якою кільце діє на жолоб, дорівнює

F = -N = (υ 2 / gR + 1,5) mg .

Завдання 3 (1999 р.) Довга трубка, запаяна з одного кінця, наповнена ртуттю і закрита легкої пробкою, що стосується ртуті, але не надає на ртуть ніякого тиску. Усередині трубки знаходиться частина затори довжиною L. Маса ртуті дорівнює m, площа поперечного перерізу трубки — S, атмосферний тиск — р. Утримуючи пробку, трубку повертають отвором вертикально вниз. Після цього пробку відпускають, і вона вилітає з утримуваної нерухомої трубки. Знаючи, що сила тертя, що діє на корок з боку трубки, змінюється за законом F = (1 — x/L)F0. де х — довжина ділянки пробки, вийшов з трубки, знайти швидкість пробки в момент її вильоту. Силами тертя ртуті знехтувати.

Рішення. При вирішенні задачі будемо вважати, що в момент відпускання пробки трубка разом з її вмістом спочивала відносно лабораторної системи відліку, яку будемо вважати інерціальною.

РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ . Наука

Застосуємо закон зміни механічної енергії до системи «ртуть — пробка». За умовою задачі масою пробки і силами в’язкого тертя ртуті про стінки трубки слід знехтувати і вважати, що у вихідному стані пробка не діє на ртуть. Тому після перевертання з боку стінок і дна трубки на ртуть діють тільки сили, спрямовані горизонтально. Тоді на підставі закону зміни механічної енергії можна стверджувати, що приріст кінетичної енергії ртуті і пробки одно, з одного боку, збільшенню лише кінетичної енергії ртуті, а з іншого — роботи сил тяжіння, що діють на ртуть, сил атмосферного тиску і сил тертя, що діють на пробку. Оскільки після відпускання пробка вилітає з трубки, можна стверджувати, що максимальна величина сили тертя, що діє на корок, задовольняє нерівності 0 2 / 2, де v — шукана швидкість вильоту пробки з трубки. Нехтуючи зміною атмосферного тиску і прискорення вільного падіння g при переміщенні пробки на відстань L, можна вважати, що сили тяжіння вчинять над пробкою і ртуттю позитивну роботу, рівну A = mgL, робота сил атмосферного тиску буде отріцатель ной і дорівнює Aат = — pa SL, так як напрям результуючої сили атмосферного тиску протилежно напрямку переміщення пробки.

Обчислити величину роботи сили тертя, що діяла на пробку з боку трубки, можна з допомогою малюнка, на якому показана залежність величини цієї сили від довжини х вийшов з трубки ділянки пробки. За визначенням елементарна робота змінної сили F при настільки малому (елементарному) переміщення Dr точки її прикладення, що чинність на цьому переміщенні можна вважати постійної як за величиною, так і за напрямом щодо ∆r. дорівнює ∆A = F ∆r. У відповідності з цим елементарна робота сили тертя при переміщенні пробки на малу відстань. коли з трубки вийшла частина пробки завдовжки. по модулю дорівнює площі затіненого на малюнку прямокутника. Тому величина всієї роботи сил тертя дорівнює площі трикутника F0 0L, тобто F0 L/2. Таким чином, шукана швидкість повинна задоволення рять співвідношенням

mυ 2 / 2 = mgL — pa SL — F0 L / 2

і, отже,

РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ . Наука

Зазначимо, що підкореневий вираз при допустимих значеннях всіх вхідних у нього величин позитивно, якщо тільки пробка може вилетіти з трубки, тобто виконується наведене вище подвійне нерівність 0

Короткий опис статті: закон збереження механічної енергії Число бажаючих вступити до вищих навчальних закладів інженерного та фізико-математичного профілю рік від року зростає. Матеріали однієї з найстаріших рубрик журналу дають ясне уявлення про рівні складності завдань за ф Наука, журнал, журнал Наука, новини, новини науки, історія науки, наука, освіта, розвиток науки, філософія науки, російська наука, наука, світогляд, фізика, метод, біологія, астрономія, історія, сучасна наука, архів, науково-популярний, форум, техніка, історія техніки, розвиток техніки, техніка форум, математика forum, archive, інтерв’ю, історія Росії, освіта, школа

Джерело: РІШЕННЯ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ З ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ | Наука і життя

Також ви можете прочитати