Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.

05.07.2015

Кінетична енергія системи – скалярна величина Т, що дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій всіх точок системи: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Якщо система складається з декількох тіл, то Т = a T. Поступальний рух: Тпосада =Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Обертальний движ-ие: Твр =Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Jz – момент інерції щодо осі обертання. Плоскопараллельное (плоске) движ-ие: Тпл =Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
+Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, vC – швидкість центру мас. Загальний випадок: Т=Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
+Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. JCP – момент інерції тіла відносно миттєвої осі. Теорема Кеніга: Т=Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
+Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– кинетич. енергія хутро. сист. = сумі кинетич. енергії центру мас системи, маса якого дорівнює масі всієї системи, і кинетич. енергії цієї системи в її відносному русі відносно центру мас. Робота сили: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. робота моменти: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Потужність: N = Fv , N = Mz w. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. в диференціальній формі: dT = Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– елементарні роботи, що діють на точку зовнішніх і внутрішніх сил, що в кінцевій формі:

Т2 – Т1 = Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Для фіксованої системи Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
Т2 – Т1 = Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. тобто зміна кінетичної енергії твердого тіла на певному переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх сил, діючих на тіло на цьому переміщенні. Якщо сума робіт реакцій зв’язків на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю, то такі зв’язки називаються ідеальними. Коефіцієнт корисної дії (ккд):Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
< 1, Апідлогу.сопр. – робота корисних сил опору (сил, для яких призначена машина), Азатр = підлогу.сопр. + вр.сопр. – витрачена робота, Авр.сопр. -- робота шкідливих сил опору (сили тертя, опору повітря тощо).

h = N маш / N дв , N маш – корисна потужність машини, N дв – потужність дв-ля, приводить її в рух. Закон збереження повної механічної енергії. Т + П = const. Якщо система рухається під дією потенційних сил, то сума кінетичної і потенційної енергій зберігає постійне значення. (Т + П — інтеграл енергії). Потенційні сили – сили, робота яких не залежить від виду траєкторії, по якій переміщається точка (пр. сила тяжіння, сила пружності) Непотенциальные – напр. сили тертя. Механічна енергія – сума кінетичної і потенційної енергій. Витрата механічної енергії зазвичай означає перетворення її в теплоту, електрика, звук чи світло, а приплив механічної енергії пов’язаний із зворотним процесом перетворення різних видів енергії в механічну енергію.

Динаміка твердого тіла

Диференціальні ур-ня поступального руху твердого тіла: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
і т. д. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– проекція зовнішньої сили. Всі точки тіла рухаються так само, як і його центр мас С. Для здійснення поступального руху необхідно, щоб головний момент всіх зовнішніх сил відносно центру мас дорівнював 0: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
=0.

Діфф-ві ур-ня обертання твердого тіла навколо нерухомої осі : Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Jz – момент інерції тіла відносно осі обертання z. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– момент зовнішніх сил відносно осі обертання (обертаючий момент). Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, e – кутове прискорення, чим більше момент інерції при даному Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, тим менше прискорення, тобто момент інерції при обертальному русі є аналогом маси при поступальному. Знаючи Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, можна знайти закон обертання тіла j = f ( t ), і, навпаки, знаючи j = f ( t ), можна знайти момент. Окремі випадки: 1) якщо Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
= 0, w = const – тіло обертається рівномірно; 2) Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
= const. то e = const – обертання равнопеременное. Рівняння аналогічне діфф-ному рівняння прямолінійного руху точки Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
.

Фізичний маятник – тверде тіло, що здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі під дією сили тяжіння. Ур-ня обертального руху:

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. позначаючи Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. отримуємо діфф-е рівняння коливань маятника: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. k – частота коливань маятника. Розглядаючи малі коливання, можна вважати sin j » j. тоді Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– діфф-е рівняння гармонічних коливань. Рішення цього рівняння: j = С1 coskt + C 2 sinkt або j = a sin ( kt + b ), a – амплітуда коливань маятника, b – початкова фаза коливань. Період малих коливань фізичного маятника t= 2 p / k = 2 p Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Для малих період коливань маятника не залежить від кута початкового відхилення, цей результат є наближеним. математичного маятника (матеріальної точки, підвішеній на нерозтяжній нитці і рухається під дією сили тяжіння) маємо діфф. рівняння руху:

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. L – довжина нитки. Якщо L =Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. то математичний маятник буде рухатися так само, як і фізичний (період коливань збігається). Величина L назыв-ся приведеною довжиною фізичного маятника. Точка К, що відстоїть від осі підвісу на відстані ОК= L. назыв-ся центром хитань физич. маятника. Якщо вісь підвісу взяти в точці К, то точка буде центром хитань і навпаки – властивість взаємності. Відстань ОК завжди >ОЗ, тобто центр хитань завжди розташований нижче центру мас.

Динаміка плоского руху твердого тіла

Положення тіла визначається положенням полюса і кутом повороту тіла навколо полюса. Діфф-ві рівняння плоского руху тб. тіла :

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
; Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
; Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, З – центр мас тіла, JC – момент інерції тіла відносно осі, перпендикулярної до площини руху тіла і проходить через його центр мас.

Принцип Даламбера (метод кінетостатікі)

В кожен момент руху сума активних сил, реакцій зв’язків і сил інерції дорівнює нулю Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
— прінціп Даламбера для матеріальної точки.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– зовнішня сила, Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– внутрішня сила. Сила інерції: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. знак (–) показує, що сила інерції напрямлена в протилежний бік прискорення.

Для системи додається рівняння моментів: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
.

Позначають: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– головний вектор сил інерції, Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– головний момент сил інерції. Враховуючи, що геометрична сума внутрішніх сил і сума їх моментів дорівнює нулю Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. отримуємо: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
— рівняння кінетостатікі. Принцип Даламбера для системи – якщо в будь-який момент часу до кожної точки системи докласти, крім реально діючих сил, відповідні сили інерції, то отримана система сил буде знаходитися в рівновазі і до неї можна застосовувати рівняння статики. Це спрощує процес вирішення завдань.

Головний вектор сил інерції Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
дорівнює добутку маси тіла на прискорення його центру мас і спрямований протилежно прискоренню цього.

Головний момент сил інерції залежить від виду руху: при поступальному русі Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
; при плоскому Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. при обертанні навколо осі z. проходить через центр мас тіла, Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
.

Визначення реакцій при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі .

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
При обертанні тіла навколо нерухомої осі виникають динамічні тиску на опори. Їх визначення зручно вирішувати методом кінетостатікі. Прикладаємо сили інерції для кожної точки: відцентрова Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. обертальна Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. rі – відстань від точки до осі обертання. Проектуючи суму цих сил на осі і враховуючи, що Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
і Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. З – центр мас, отримуємо проекції головного вектора сил інерції:

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
.

Проекції головного моменту сил інерції = сумі моментів відцентрових і обертальних сил инерций щодо осей координат:

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
, Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
– відцентрові моменти інерції, Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.

Враховуючи зовнішні сили, можна записати рівняння рівноваги кінетостатікі:

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
,

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
.

Останнє рівняння не містить реакцій опор і являє собою диференціальне рівняння обертання тіла. Решта п’ять рівнянь дозволяють визначити п’ять невідомих реакцій. Динамічні складові реакцій визначаються доданками, які залежать від сил інерції.

Умови відсутності динамічних складових :

Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.
. звідки

xC = 0, yC = 0, Jyz = 0, Jzx = 0, це означає, що центр ваги повинен знаходитися на осі обертання тіла і вісь обертання тіла z повинна бути головною віссю інерції тіла. Тобто вісь обертання повинна бути головною центральною віссю інерції тіла (вісь, яка проходить через центр мас тіла, і відцентрові моменти інерції з індексом цієї осі дорівнюють нулю). Для виконання цієї умови проводиться спеціальна балансування швидко обертаються тел.

Короткий опис статті: кінетична енергія

Джерело: Теорема про зміну кінетичної енергії системи. Динаміка твердого тіла.Диференціальні рівняння поступального руху тіла. — Механіка

Також ви можете прочитати