В. С. Нургалієв

23.09.2015

4.3. Кінетична енергія і робота при обертанні тіла

Розглянемо абсолютно тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі. Якщо подумки розбити це тіло на n точок масами m1. m2. …, mn. знаходяться на відстанях r1. r2. …, rn від осі обертання, то при обертанні вони будуть описувати кола і рухатися з різними лінійними швидкостями v1. v2. …, vn. Так як абсолютно тверде тіло, то кутова швидкість обертання точок буде однакова:

В. С. Нургалієв
Кінетична енергія обертового тіла є сума кінетичних енергій його точок, тобто

В. С. Нургалієв

Враховуючи зв’язок між кутовою та лінійною швидкостями, отримаємо:

В. С. Нургалієв
(4.9)

Зіставлення формули (4.9) з виразом для кінетичної енергії тіла, що рухається поступально зі швидкістю v. показує, що момент інерції є мірою інертності тіла в обертальному русі .

Якщо тверде тіло рухається поступально зі швидкістю v і одночасно обертається з кутовою швидкістю ω навколо осі, що проходить через його центр інерції, то його кінетична енергія визначається як сума двох складових:

В. С. Нургалієв
(4.10)

В. С. Нургалієв

де vc – швидкість центру мас тіла; Jc — момент інерції тіла відносно осі, що проходить через його центр мас.

Моментом сили відносно нерухомої осі z називається скалярна величина Mz. рівна проекції на цю вісь вектора M моменту сили, визначеного відносно довільної точки 0 даної осі. Значення моменту Mz не залежить від вибору положення точки 0 на осі z .

Якщо вісь z співпадає з напрямком вектора M. момент сили представляється у вигляді вектора, що збігається з віссю:

Знайдемо вираз для роботи при обертанні тіла. Нехай сила F прикладена до точки В, знаходиться від осі обертання на відстані r (рис. 4.6); α – кут між напрямком сили і радіусом-вектором r. Так як абсолютно тверде тіло, то робота цієї сили дорівнює роботі, витраченої на поворот всього тіла.

В. С. Нургалієв
При повороті тіла на нескінченно малий кут dφ точка додатка проходить шлях ds = rdφ. і робота дорівнює добутку проекції сили на напрямок зміщення на величину зміщення:

dA = Fsinα*rdφ

Враховуючи, що Frsinα = Mz можна записати dA = Mz dφ. де Mz — момент сили відносно осі обертання. Таким чином, робота при обертанні тіла дорівнює добутку моменту діючої сили на кут повороту.

Робота при обертанні тіла йде на збільшення його кінетичної енергії:

dA = dEk В. С. Нургалієв
(4.11)

Рівняння (4.11) являє собою рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі .

Короткий опис статті: кінетична енергія

Джерело: В.С. Нургалієв

Також ви можете прочитати